2014年駒場東邦の問題です。
毎月行われるパーティーでは、すべての参加者が他の参加者全員と1回ずつ握手をすることになっています。その握手の回数の合計を考えます。例えば参加者が3人のときは握手の回数の合計は3回、4人のときは6回になります。
（1）参加者が6人のときは握手の回数は合計何回になりますか。
（2）ある月の握手の回数の合計は308の倍数でした。この月の参加者は少なくとも何人でしたか。
（3）今月の参加者は先月の参加者の2倍でした。今月、先月の握手の回数の合計をそれぞれa回、b回とすると、aをbで割ったときの余りは12でした。
このとき、今月の参加者数とaの値をそれぞれ求めなさい。
(解説と解答）
（1）握手をする組み合わせを考えればいいので、2人の組み合わせ方と同じです。3人の中から2人を選ぶ組み合わせは3通り、4人の中から2人を選ぶ組み合わせは
4×3÷（2×1）＝6通りになります。
したがって6人の場合は6×5÷（2×1）＝15通りです。
【答え】15通り
（2）（1）からn人の場合はn×（n－1）÷2 となります。これが308の倍数になるということなので、308を素数分解してみると2×2×7×11ですから、差が1つの整数の積に7と11という素数が含まれてなければなりません。
11の倍数で考えると
11 22 33 44 55
7の倍数で考えると
14 21 28 35 42 56 で55と56が1違いです。
したがって56人であれば56×55÷2＝1540となり1540÷308＝5ですから、これが答えになります。
【答え】56人
（3）しばらく書き出してみましょう。
a÷bのあまりが先月の人数に一致していることがわかります。したがって、先月は12人、今月は24人です。
aの値は24×23÷12＝276になります。
【答え】24人 276
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2月4日の問題
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