立体に関する問題

投稿日: 2014年7月8日作成者: admin

すべての辺の長さが6cmである三角すいABCDにおいて、辺AC、ADをそれぞれ3等分する点のうち点C、Dに近い方をそれぞれ点P、Qとします。
また点Rは辺AB、BC上を動く点とします。ただし、点Rは点Aと点Cには重なりません。
３つの点P、Q、Rを通る平面で三角すいABCDを切ったときにできる2つの立体のうち、点Aを含む立体を、点Cを含む立体をとします。

(1) 点Rが辺ABのちょうどど真ん中にあるとき、との体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（2）点Rが辺BCを3等分する点のうち点Cに近い方にあるとき、との体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(1)
の方は三角すいの

$\frac{1}{2}$ × $\frac{2}{3}$ × $\frac{2}{3}$ ＝ $\frac{2}{9}$

になるので、

は1－ $\frac{2}{9}$ ＝ $\frac{7}{9}$ ですから答えは2：7になります。

【答え】2：7

（2）PQRを通る平面とBDの交点をSとするとPQとCDは平行になり、RSとCDも平行になります。

したがって底面は以下のようになり、底面RTUSの部分は三角柱、底面CRTとUSDでひとつの正四面体になります。

正四面体の部分は全体の $\frac{1}{3}$ × $\frac{1}{3}$ × $\frac{1}{3}$ ＝ $\frac{1}{27}$

三角柱の部分は底面を三角すいの断面PRTとすると高さ2cmのすい体が $\frac{1}{27}$ なので、高さ4cmの柱体は $\frac{1}{27}$ ×2×3＝ $\frac{6}{27}$ になります。

したがっては $\frac{1}{27}$ ＋ $\frac{6}{27}$ ＝ $\frac{7}{27}$

は
1－ $\frac{7}{27}$ ＝ $\frac{20}{27}$

：＝20：7

【答え】20：7

「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）

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