2009年海城中学の問題です。
図のような直方体ABCD－EFGHがあり、AB＝4cm、AD＝6cm、BF＝5cmです。点P、Qはそれぞれ辺FG、GH上にあり、FP=2cm、GQ＝2cmです。
（１）この直方体を、３つの点A、P、Qを通る平面できるとき、切り口を解答用紙の展開図に書きこみなさい。
（２）３つの点A、P、Qを通る平面とEG、CEが交わる点をそれぞれR、Sとします。
１ ERの長さとRGの長さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
２ ESの長さとSCの長さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
まず平面を描いてみましょう。描き方としてはPQを延長して、EFの延長線との交点をI、EHの延長線との交点をJとします。
次にAとI、AとJをつなげば下図のように、平面が見えるでしょう。
このとき三角すいAEIJと三角すいLFIPと三角すいKHQJは相似になります。
QはGHの中点になるので、三角形PQGと三角形GHJは合同の三角形になりますから、HJ＝4cm、
三角形ADKと三角形KHJも相似。
相似比は６：４＝３：２になるので、DH＝５cmよりKH＝２cm
したがって三角すいはAE：EI：EJ＝１：１：２になるので、
LF＝１cm、FI＝１cmになります。あとは展開図に書きこみましょう。
次に（２）です。RとSの位置を図にいれてみましょう。
この図で、三角形RPGと三角形ERJは相似ですから、ER：RG＝６＋４：４＝５：２
したがってER：RG=５：２になります。
するとACは図のように【７】になるので、三角形ASCと三角形ESRの相似から
ES：SC=５：７になります。
（答え）1 ER：RG=５：２ 2 ES：SC=５：７
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