規則性に関する問題

今回は規則性に関する問題です。決まりを見つけて、工夫をしながら解いていきましょう。


(例題1)
次のようにあるきまりにしたがって数が並んでいます。
1、3、7、13、21、31、43、・・・

(1)ある数はその前の数との差が40でした。その数は何番目ですか。
(2)50番目の数を求めなさい。


(解説と解答)
差をとっていくと、きまりはすぐわかるでしょう。
2、4、6、8、10、12・・・と偶数になっています。
(1)はその前の数との差が40でしたから、差の数列で考えると40÷2=20番目です。したがってその数は20+1=21番目になります。
(答え)21番目
(2)50番目は49回差がありますから、2×49=98増えます。
(2+98)×49÷2=100×49÷2=2450より50番目は1+2450=2451になります。
(答え)2451


(例題2)
次のように分数があるきまりにしたがって並んでいます。
\frac{1}{1}\frac{2}{3}\frac{3}{5}\frac{1}{7}\frac{2}{9}\frac{3}{11}\frac{1}{13}・・・

100番目の数を求めなさい。


(解説と解答)
分子は1、2、3の繰り返し、分母は1から奇数が小さい順に並んでいます。
したがって100÷3=33・・・1より分子は1
分母は1+2×(100-1)=1+198=199
(答え)\frac{1}{199}


(例題3)
次のように分数があるきまりにしたがって並んでいます。
\frac{1}{1}\frac{1}{2}\frac{2}{2}\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}\frac{1}{4}・・・

(1)\frac{4}{15}は何番目ですか。
(2)最初から\frac{4}{15}までの和を求めなさい。


(解説と解答)
(1)規則は分母が1の時が1個、分母が2の時は2個、というように分母の数だけ分子が1から並んでいます。
したがって分母が15になる前は分母が14の分数が14個並んでいましたから、
(1+14)×14÷2=105個の分数があるので、\frac{4}{15}は分母が15の分数の4番目ですから105+4=109番目です。
(答え)109番目

(2)分母が1の分数の和は1、分母が2の分数の和は(1+2)÷2=1.5、分母が3の分数の和は(1+2+3)÷3=2、分母が4の分数の和は(1+2+3+4)÷4=2.5というように0.5ずつ増えていきます。
分母が14の分数の和は、分子が(1+14)×14÷2=105ですから105÷14=7.5です。
したがって最初から\frac{14}{14}までの分数の和は(1+7.5)×14÷2=59.5です。
\frac{1}{15}\frac{4}{15}までの和は\frac{1+2+3+4}{15}\frac{10}{15}\frac{2}{3}より、
和は59.5+\frac{2}{3}=60\frac{1}{6}

(答え)60\frac{1}{6}


(例題4)
次のようにある決まりに従って数が並んでいます。

(1)Aは何ですか。
(2)120は何行何列の数ですか。


(解説と解答)
(1)1列目の数を見ると、1、4、9、16・・・と並んでいます。
これは同じ整数をかけた平方数になっているので、6行1列の数は
6×6=36です。Aはそれより2小さいので36-2=34
(答え)34

(2)120に一番近い平方数を考えると11×11=121があります。
これが11列1行ですから、120はその1つ前になるので、11行2列になります。
(答え)11行2列


(例題5)
太郎君は文集のページ数を書いていきます。この文集は234ページあります。1ページには1と数字を書き、10ページには10と数字を書きますが、10の場合は1と0を書いたことになるので数字を2個書きました。123ページの場合は数字を3個書いたことになります。
次の問いに答えなさい。
(1)太郎君は何個数字を書きましたか。
(2)太郎君が一番多く書いた数字は何ですか。またそれは何個ありますか。


(解説と解答)
(1)1ケタは1から9の9個。2ケタは10から99ですから99-9=90より2×90=180個
3ケタは100~234ですから234-99=135より3×135=405
9+180+405=594
(答え)594個

(2)100~199の間に100の位は全部1なので、1が一番多くなります。
1の位は1~231まで10おきに書いたので、(231-1)÷10+1=24個
10の位は10~19で10個、110~119で10個、210~210で10個の合計30個
100の位では100~199ですから100個
したがって合計24+30+100=154個が1です。
(答え)1 154個

規則性の問題はいろいろな形がありますが、すべてのパターンを網羅する、というわけにはいかないので、その場、その場でどんな規則があるのかを見つけ、そこから解き方を考え出していかなければなりません。

そのためには多少なりともいくつか、書き続けてみる、ということも大事です。すべて書くというのはさすがに大変ですが、いくつか書き続けていくことで、規則の使い方がわかることがありますから、ぜひ試してください。

以下の教材もお役立てください。

算数5年後期第9回 算数オンライン塾「規則性に関する問題」

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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