規則性に関する問題

投稿日: 2013年10月27日 作成者: admin

今回は規則性に関する問題です。決まりを見つけて、工夫をしながら解いていきましょう。

（例題１）
次のようにあるきまりにしたがって数が並んでいます。
1、3、7、13、21、31、43、･･･

（１）ある数はその前の数との差が40でした。その数は何番目ですか。
（２）50番目の数を求めなさい。

（解説と解答）
差をとっていくと、きまりはすぐわかるでしょう。
2、4、6、8、10、12･･･と偶数になっています。
（１）はその前の数との差が40でしたから、差の数列で考えると40÷2＝20番目です。したがってその数は20＋1＝21番目になります。
（答え）21番目
（２）50番目は49回差がありますから、2×49＝98増えます。
（2＋98）×49÷2＝100×49÷2＝2450より50番目は1＋2450＝2451になります。
（答え）2451

（例題２）
次のように分数があるきまりにしたがって並んでいます。
\frac{1}{1}・\frac{2}{3}・\frac{3}{5}・\frac{1}{7}・\frac{2}{9}・\frac{3}{11}・\frac{1}{13}･･･

100番目の数を求めなさい。

（解説と解答）
分子は1、2、3の繰り返し、分母は1から奇数が小さい順に並んでいます。
したがって100÷3＝33･･･1より分子は1
分母は1＋2×（100－1）＝1＋198＝199
（答え）\frac{1}{199}

（例題３）
次のように分数があるきまりにしたがって並んでいます。
\frac{1}{1}・\frac{1}{2}・\frac{2}{2}・\frac{1}{3}・\frac{2}{3}・\frac{3}{3}・\frac{1}{4}･･･

（１）\frac{4}{15}は何番目ですか。
（２）最初から\frac{4}{15}までの和を求めなさい。

（解説と解答）
（１）規則は分母が1の時が1個、分母が2の時は2個、というように分母の数だけ分子が1から並んでいます。
したがって分母が15になる前は分母が14の分数が14個並んでいましたから、
（1＋14）×14÷2＝105個の分数があるので、\frac{4}{15}は分母が15の分数の4番目ですから105＋4＝109番目です。
（答え）109番目

（２）分母が1の分数の和は1、分母が2の分数の和は（1＋2）÷2＝1.5、分母が3の分数の和は（1＋2＋3）÷3＝2、分母が4の分数の和は（1＋2＋3＋4）÷4＝2.5というように0.5ずつ増えていきます。
分母が14の分数の和は、分子が（1＋14）×14÷2＝105ですから105÷14＝7.5です。
したがって最初から\frac{14}{14}までの分数の和は（1＋7.5）×14÷2＝59.5です。
\frac{1}{15}～\frac{4}{15}までの和は\frac{1+2+3+4}{15}＝\frac{10}{15}＝\frac{2}{3}より、
和は59.5＋\frac{2}{3}＝60\frac{1}{6}

（答え）60\frac{1}{6}

（例題４）
次のようにある決まりに従って数が並んでいます。

（１）Ａは何ですか。
（２）120は何行何列の数ですか。

（解説と解答）
（１）1列目の数を見ると、1、4、9、16･･･と並んでいます。
これは同じ整数をかけた平方数になっているので、6行1列の数は
6×6＝36です。Ａはそれより2小さいので36－2＝34
（答え）34

（２）120に一番近い平方数を考えると11×11＝121があります。
これが11列1行ですから、120はその1つ前になるので、11行2列になります。
（答え）11行2列

（例題５）
太郎君は文集のページ数を書いていきます。この文集は234ページあります。1ページには1と数字を書き、10ページには10と数字を書きますが、10の場合は1と0を書いたことになるので数字を2個書きました。123ページの場合は数字を3個書いたことになります。
次の問いに答えなさい。
（１）太郎君は何個数字を書きましたか。
（２）太郎君が一番多く書いた数字は何ですか。またそれは何個ありますか。

（解説と解答）
（１）1ケタは1から9の9個。2ケタは10から99ですから99－9＝90より2×90＝180個
3ケタは100～234ですから234－99＝135より3×135＝405
9＋180＋405＝594
（答え）594個

（２）100～199の間に100の位は全部1なので、1が一番多くなります。
1の位は1～231まで10おきに書いたので、（231－1）÷10＋1＝24個
10の位は10～19で10個、110～119で10個、210～210で10個の合計30個
100の位では100～199ですから100個
したがって合計24＋30＋100＝154個が1です。
（答え）1　154個

規則性の問題はいろいろな形がありますが、すべてのパターンを網羅する、というわけにはいかないので、その場、その場でどんな規則があるのかを見つけ、そこから解き方を考え出していかなければなりません。

そのためには多少なりともいくつか、書き続けてみる、ということも大事です。すべて書くというのはさすがに大変ですが、いくつか書き続けていくことで、規則の使い方がわかることがありますから、ぜひ試してください。

以下の教材もお役立てください。

算数５年後期第9回　算数オンライン塾「規則性に関する問題」

「映像教材、これでわかる数の問題」（田中貴）

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