点の移動の問題

2013年桐朋中学の問題です。


図のように、2つの円が点Aでつながっています。点Pは点Aを出発し、B、C、A、D、E、A、B・・・の順に、2つの円周上を8の字をえがくように、毎秒1cmの速さで移動します。点Qは、点Aを出発し、D、E、A、B、C、A、D・・・の順に、2つの円周上を8の字をえがくように、毎秒0.9cmで移動します。

2点P、Qが点Aを同時に出発したところ、点Pが初めて点Aを通過してから21秒後に、点Qが初めて点Aを通過しました。また点Pが2回目に点Aを通過してから4秒後に、点Qが2回目に点Aを通過しました。
次の各問いに答えなさい。
(1)2つの円の円周の長さの和は何cmですか。
(2)3点A、B、Cを通る円の円周の長さは何cmですか。
(3)点Pが点Qに初めて追いつくのは、出発してから何秒後ですか。
(4)2点P、Qが初めて点Aを同時に通過するのは、出発してから何秒後ですか。


(解説と解答)
(1)点Pが2回目にAを通過するのは2つの円周を移動したときです。そのあと4秒後に点Qが2回目にAを通過するので、このときにQも2つの円周の移動を終えます。
ということは速さの比が1:0.9=10:9ですからかかる時間の比は9:10になり、その差の1が4秒ですから4×10=40秒でQは2つの円の円周の移動を終えます。
したがって2つの円の長さの和は0.9×40=36cm
(答え)36cm

(2)A、B、Cの円に点Pがかかる時間を【9】とすると、A、B、Cの円に点Qがかかる時間は【10】になります。Qは2つの円を40秒で回るので、A、D、Eの円を回るのには40-【10】かかります。
【9】+21=40-【10】より【19】=19から【1】=1秒。したがってABCの円をまわるのに、点Pは9秒かかりますから1×9=9cmです。
(答え)9cm

(3)A、D、Eの円は36-9=27cm QがAに最初にもどるときは27÷0.9=30秒後ですから、そのとき、Pは1×30=30cm移動しています。30-9=21cmですでにA、D、Eの円を21㎝移動しているので、残りの距離は27-21=6cm 6÷(1-0.9)=60秒後
したがって追いつくのは30+60=90秒後
(答え)90秒後

(4)PがAを通過するのは、9、36、45、72、81、108、117、144、153、180・・・ 9秒後から27秒、9秒と繰り返していきます。
QがAを通過するのは30、40、70、80、110、120、150、160、190.・・・30秒後から10秒、30秒と繰り返していきます。
QがAを通過するのは1の位が0のときだけですから、Pが通過するとき、1の位が0となるのは180秒後。次は180×2=360秒後、と180の倍数になります。
360÷40=9よりQも360秒後にはAにいるので、したがって最初は360秒後になります。
(答え)360秒後

「映像教材、これでわかる比と速さ」(田中貴)

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