2013年 浅野中学の問題です。
図１のような三角形ABCがあります。辺BC上に点Dを角BADと角CADの大きさが等しくなるようにとります。また点Cを通りADに平行な直線を引き、この直線が辺BAの延長と交わる点をEとします。
AB＝5cm、BC＝7cm、CA＝4cmとするとき、次の（１）から（３）の問いに答えなさい。ただし、それぞれの比は、すべてもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
図１
（１）BDの長さ：DCの長さを求めなさい。
図２
（２）さらに図２のようにAD上に点Fを各ABFと角DBFの大きさが等しくなるようにとります。このとき、DFの長さ：FAの長さを求めなさい。
（３）三角形ABFの面積：三角形BCFの面積：三角形CAFの面積を求めなさい。
（１）この図を見た瞬間、「ああ、角の二等分線の定理ね。」といって5：4と出してしまう生徒がいる、というリスクをこの問題は抱えています。
図１のように角Aを二等分したとき、AB：AC＝BD：DCになるというのが「角の二等分線の定理」です。ここまで教えてしまう先生は多分、いるだろうなと思います。
さて、この図１はその証明に使われる図でもあります。
ADとECが平行ですから、角DAC＝角ACEとなります。また角BADと角AECも同じになります。（同位角）
したがって三角形ACEは底角が等しいので二等辺三角形となり、AC＝AE＝4cmとなります。
図３
このとき、三角形ABDと三角形EBCは相似ですから、BD：DC=BA：AE（＝BA：AC）になるのです。
（答え）5：4
（２）すると図２においてもBD：BA＝DF：FAということになるので、BDの長さは7÷（5＋4）×5＝
（答え）7：9
（３）三角形ABF＝【9】とすれば、三角形BDF＝【7】 BD：DC＝5：4 より三角形BCF＝【7】÷5×9＝【12.6】、三角形CAFは【9】÷5×4＝【7.2】
したがって三角形ABFの面積：三角形BCFの面積：三角形CAFの面積＝9：12.6：7.2＝45：63：36＝5：7：4
（答え）5：7：4
こういう問題を練習すれば、間違いなく教える先生は増えるでしょう。きっと。
（もう、教えちゃってるし。）
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うわさ・・・
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