2014年武蔵中学の問題です。
図のように、半径1cmの円の周を6等分する位置に1から6までの番号がついています。Aを7以上100以下の整数とします。Aの6位かの約数の位置に点を打ちます。3つ以上点が打たれたときは、これらを順に結んで多角形を作ります。例えば、A＝7、A＝8、A＝9、A＝12のときは図1のようになります。
図１
次の問いに答えなさい。
（１）図2となるようなAはありません。その理由を答えなさい。
図２
（２）図3となるようなAをすべて求めなさい。
図３
（３）打たれた点が1つだけとなるAのうち、素数でないものをすべて求めなさい。
（４）できた多角形の面積が、1辺の長さ1cmの正三角形の面積の3倍に等しくなるようなAをすべて求めなさい。
（１）図２では約数の中に1、2、3、5が入っています。しかし2と3が約数になれば、6も約数でなければなりませんが、これは6が約数になっていないので、このような図形はありません。
【答え】2と3が約数であれば、6も必ず約数になるから。
（２）1、2、4、5が約数で、3は約数ではありません。
一番小さい数は20です。7以上100以下の整数で20の倍数は、20、40、60、80、100ですが、60は当てはまりません。
【答え】20、40、80、100
（３）7以上の素数は1以外に点が付きません。ということは7以上の素数の積でできた数は素数ではなく、また1以外には点がつかないことになります。
7以上の素数は7、11、13･･･となりますが、積が100以下でなければならないので、
7×7、7×11、7×13の3つになります。
【答え】49、77、91
（４）１は必ず通ります。五角形以上になると、正三角形の3倍以上になるので、四角形か三角形になります。
1辺が1cmの正三角形の3倍の図形は以下の通りになります。
このうちイは2と3があれば6も入らなければならないので不適。
ウは6が入っていて3が入らないことはないので不適。
オは4が入っていて2が入らないことはないので不適。
結局ア、エ、ということになります。
アは15の倍数になり、偶数ではないので、15、45、75
エは6の倍数で、4、5の倍数ではないので、18、42、54、66、78
【答え】15、18、42、45、54、66、75、78
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