今年の慶應中等部の問題です。
３けたの整数のうち、どの位の数も異なり、またどの位も０でない整数Ⅹについて考えます。整数Ⅹに対して、≪Ⅹ≫は「各位の数字を並べかえてできる数のうち、最も大きい数と最も小さい数の差」を表します。例えば、Ⅹ＝142のとき、421と124の差を求めて、≪Ⅹ≫＝297となります。
次の( )に適当な数を入れなさい。
（１）≪Ⅹ≫の値は、最も小さい場合で( )、最も大きい場合で( )になります。
（２）≪Ⅹ≫＝Ⅹとなるとき、Ⅹ＝( )
です。
問題の考え方からすると
３つの整数の表し方は100×A＋10×B＋Cということになるでしょう。
（１）
A＞B＞Cとすれば、一番大きい数は100×A＋10×B＋C 一番小さな数は100×C＋10×B＋A
ということになりますからその差は
100×（A-C）＋C-A＝99×（A-C）ということになります。
つまりこれが一番大きくなるということはA－Cが８になるときであり、一番小さいときはAーCが２になるときです。AーCが１になることはありません。Bが中に入っていますから最小の差は２になります。
よって小さい場合は198 大きい場合は792ということになります。
（２）
≪Ⅹ≫は99の倍数になります。
AーC＝２ のとき 198 実際のA-C＝９－１＝８
AーC＝３ のとき 297 実際のA-C＝９－２＝７
AーC＝４ のとき 396 実際のA-C＝９－３＝６
AーC＝５ のとき 495 実際のA-C＝９－４＝５
AーC＝６ のとき 594 実際のA-C＝９－４＝５
AーC＝７ のとき 693 実際のA-C＝９－３＝６
AーC＝８ のとき 792 実際のA-C＝９－２＝７
よって答えは495です。
真ん中の数字（この場合でいえばB）は関係ないということから、99の倍数になるということに気がつけば、難しくはないでしょう。10個ぐらいを書き出すのは、最近の問題では当たり前なので、瞬時に規則を見つけて書き出す、という瞬発力も大事かもしれません。
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