3:4:5の直角三角形

小学生ですから、平方根は使えないので、直角三角形の斜辺の長さは本来は使えません。しかし、これが整数になる場合があり、その代表的な三角形が3:4:5と5:12:13です。

しかし問題では圧倒的に3:4:5が使われることが多く、これは多くの受験生が知っていると思います。

下記は2011年慶應湘南の算数の問題ですが、B’F=12㎝のところで、ピンとくれば、だいぶ平面図形の問題に慣れてきた証拠でしょう。


辺ABの長さが20cm、角Bが90°の直角三角形ABCと、1辺の長さが16cmの正方形ADEFを、図1のように辺ABと辺AFが重なるようにおく。三角形ABCを頂点Aを中心として矢印の方向に回転させ、三角形AB′C′に移したところ、辺AC′と辺AFは重なり、頂点B′は辺EF上にきて、B′F=12cmとなった。

図1

(1)辺BCの長さを求めなさい。

(2)図1のかげのついた部分「あ」の面積は「い」の面積の何倍ですか。

(3)三角形ABCを、図2のように頂点Bが正方形の辺DE上にくるようにさらに回転させた。このとき、かげのついた部分「う」の面積を求めなさい。

図2


(解説と解答)
(1)
AB=20cm ですからAB’も20㎝になります。BがB’に重なったのだから角CAC’と各BAB’は同じになるので三角形ACBと三角形AFB’は相似形です。

FB’=12㎝ですからFB’:AF:AB’=12:16:20=3:4:5

BC:AB:AC=3:4:5よりBC=20×3/4=15㎝ になります。

(2)
おおぎ形ABB’とおおぎ形ACC’も相似になります。そうすると「あ」と「い」も相似になり、その面積比は辺の比×辺の比。
BC:FB’=15:12=5:4 したがって面積は5×5:4×4=25:16
 答えは 16/25倍ということになります。

(3)
ACとFEの交点をG、CBとEFの交点をIとおき、CからFEに垂線をおろし、その交点をHとします。

三角形ADBと三角形BEIは相似形になるのでBE=4㎝ BI=5㎝ IE=3㎝
BC=15㎝ですから、IC=10㎝になります。

ここで三角形IBEと三角形HICは相似になるので、HI=6㎝ IC=10㎝ HC=8㎝

同様に三角形AFGと三角形GHCも相似になるので、AG:GC=2:1(=AF:HC=16:8より)

したがって斜線部「う」の面積は20×15×1/2×10/15×1/3=100/3=33 1/3㎝2

HF=7㎝とわかりますから、そこからGHを7/3と出しても答えは出てくるでしょう。

三角形ADBと三角形BEIは相似形であることに気が付き、垂線CHが引けると、あとは問題なく解けると思います。3:4:5はいろいろな問題で出てますので、知っておいて良い知識でしょう。

==============================================================
田中貴.com通信を発刊しています。登録は以下のページからお願いします。
無料です。
田中貴.com通信ページ
==============================================================
中学受験で子どもと普通に幸せになる方法、本日の記事は

組み分けテストの成績を無視する
==============================================================

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

親子で受かる! 中学受験手帳

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験(塾・指導・勉強法)へ

にほんブログ村

カテゴリー: 各校の入試問題から   パーマリンク

コメントは受け付けていません。