図形の組み合わせの問題

2011年巣鴨中学の問題。


図1のように2つの直角三角形ABCとACDを組み合わせてできた四角形ABCDについて、次の各問いに答えなさい。ただし、必要であれば、図1を4つ組み合わせた図2を用いなさい。


図1


図2

AB+BC=8.5cm
CD-DA=1.5cm
AC=6.5cm
ABの長さはBCの長さより短い。

(1)三角形ABCの面積を求めなさい。

(2)四角形ABCDの面積を求めなさい。

(3)ABの長さを求めなさい。ただし、AB、BCのどちらかの長さは整数になります。


図2がなければ、高校受験の問題になってきますが、図2を見てみると、なーるほど、という感じになってきます。

AB+BC=8.5cm から 大きい正方形の1辺の長さが8.5㎝

AC=6.5㎝から真ん中の正方形の1辺の長さが6.5㎝ 

CDーDA=1.5㎝から一番小さな正方形の1辺の長さが1.5cm とわかりますから、

(1)は(大きい正方形ー真ん中の正方形)÷4で求められます。
(8.5×8.5-6.5×6.5)÷4=(72.25-42.25)÷4=7.5㎝2 ということになります。

(答え)7.5㎝2

(2)は同様に(大きい正方形ー一番小さな正方形)÷4で求められます。

(8.5×8.5-1.5×1.5)÷4=(72.25-2.25)÷4=17.5cm2 ということになります。

(答え)17.5cm2

さて、そうなると(3)ですが、AB+BC=8.5 AB×BC=7.5×2=15 となって、なんだ二次方程式かい? いやいや小学生ですから。

ここでどちらかが整数といっています。AB×(8.5-AB)=15 になるわけだからABが整数か、(8.5-AB)が整数にならないといけません。

でABが整数だとすると(8.5-AB)には0.5 が残ります。ということはABは偶数でないと積が15にならない。

8.5より小さい偶数は2、4、6、8となって、そう6があてはまります。

6×(8.5-6)=15  

しかし、これだとABがBCよりも大きくなってしまいます。だから逆にすればいい。

つまりAB=2.5㎝ にすればBC=6㎝となって答えが出ました。

(答え)2.5㎝

この正方形の中の組み合わせ、最近よく出題されていますので、気を付けておいた方が良いでしょう。

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