2010年の神戸女学院の問題です。
図１
1辺1㎝の立方体を重ねて図のような１辺５㎝の立方体を作りました。
次に図の斜線をつけた部分を反対の面までまっすぐくりぬきます。
ただし、くりぬいても立体はくずれないものとします。
（１）くりぬいた後の立体の体積を求めなさい。
（２）くりぬいた後の立体の表面積を求めなさい。
問題の題意はシンプルです。しかし（２）が面倒だなあ、と思うでしょう。実際に面倒です。ていねいにやっていきましょう。
（１）ですが、上から順に１段目、２段目、と番号をつけてみます。
１段目は全部ありますね。
２段目は図２のようになります。
図２
３段目は
図３
４段目は
図４
５段目は全部あります。
したがってくりぬかれているのは２～４段まで、それぞれ５×２－１＝９個ですから、９×３＝27個なくなっているので、５×５×５－27＝98㎝3ということになります。
（答え）98㎝3
と体積はまあ、そう面倒ではありませんが、表面積はちょっと面倒です。で、外側からまずやりましょう。
６面ある表面のうち、なにもくりぬかれていないのは２面。３つくりぬかれているのが４面ですから
５×５×２+（５×５－３）×４＝50＋88＝138㎝2 が外に向いている表面積になります。
問題はトンネルの中ですが、各段でやっていきましょう。
２段目は下図のようになります。
数字は各立方体を内側から見たとき、残っている面の数を表します。
図５
気を付けないといけないのは３の部分。この段では３のところの底の面がありません。（下の段でくりぬかれてしまいます。）
同様に考えていくと
３段目は
図６
緑の部分は上があいていて、オレンジの部分は下があいているのでそれぞれ３面しか残っていないことに注意してください。
４段目は
図７
ということになります。
したがって
２段目は内側に４×６＋３×２＋２×１＝24＋６＋２＝32面。これは４段目も同じです。
３段目は内側に４×４＋３×４＋２×１＝16＋12＋２＝30面
したがって32×２＋30＝94面が内側にあることがわかります。
138＋94＝232㎝2
（答え）232㎝2
ということになります。
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