3:4:5を組み合わせる

2010年灘中学の問題。

3辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形6つを図のように並べるとき、次の各問いに答えなさい。

(1)2点A、Bを直線で結ぶとABの長さは何cmですか。
(2)2点C、Dを直線で結ぶとCDの長さは何cmですか。


(1)は図のAEの長さを出すことになります。

そこで右側の三角形をひっくり返すと、

になるのでAEは2つの三角形のをあわせたときの底辺を5㎝としたときの高さとなります。
したがって3×4÷2=AE×5÷2からAE=2.4

ABの間の距離は2.4×2=4.8㎝になります。

(答え)4.8㎝

(2)

今度は図のCFの長さを求めれば、それを2倍すればよいことになります。

右側から2つめの三角形を(1)のようにひっくり返すと、

この時、図の三角形IKJと三角形GKHと三角形CKFは直角と×の角度が共通ですから相似です。

三角形GKHと三角形IKJの相似比はGH:IJ=4:3 

面積比は4×4:3×3=16:9

その差の7が3cm、4cmの直角三角形2つ分ですから3×4=12cm2

三角形IKJ=12×9/7=108/7 cm2 になります。

その高さが3cmですから108/7×2÷3=72/7cm がIKの長さ。

CK=72/7-4=44/7

GK:CK=4:CF ですから 72/7+4:44/7=25:11=4:CF
なので
CF=4×11÷25=1.76

CDの長さは1.76×2=3.52

(答え)3.52cm

最近、図形を組み合わせる問題が増えてきました。図形をどう組み合わせるか、のイメージをしっかり持てるように練習しておきましょう。

「映像教材、これでわかる比と図形」(田中貴)

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