2009年桐朋中学の問題です。
川の上流にP地、下流にQ地があります。PQ間をくり返し往復する船があり、この船は．P地Q地でそれぞれ22分間停まります。
A君は川沿いの道をQ地からP地まで歩きました。A君がQ地を出発したとき、船は同時にP地を出発しました。A君は途中でP地からQ地に向かう船と2回すれ違いました。
2回目にすれ違ったのは1回目にすれ違ってから1時間20分後のことでした。A君がQ地を出発してから2時間後に、A君はP地に、船はQ地に同時に着きました。
（1）A君がP地からQ地に向かう船と1回目にすれ違ったのは、A君がQ地を出発してから何分後でしたか。
（2）船が川を上るときの速さと川を下るときの速さの比を求めなさい。
（3）流れのないところでの船の速さは毎分325mです。川の流れの速さは毎分何mですか。また、PQ間の道のりは何mですか。
（１）
題意をグラフにすると図１のようになります。
PからQに下る船とA君は２回すれ違ったことになり、120分後に同時にA君はP、船はQについたことから、Qから1回目に会った地点アとPから２回目に会った地点イの距離は同じです。
グラフで、船の下りにかかった時間を【1】とすると、Pア：アT＝Uイ；イS＝【1】：120分で同じになるからです。
図１
したがって1回目に会うまでの時間を○とすると、図２のようになります。
図２
○×２＋80＝120ですから（120－80）÷２＝20分が出発してから１回目に会うまでの時間になります。
（答え）20分
（２）
船がPからアまで行く時間は20分
Pからアまでの距離はQからイまでの距離に等しいので同じ距離を動くのにA君は120－20＝100分かかります。
したがって船の下りの速さ：A君の速さ＝100：20＝５：１
Qからアまで移動するのにかかる時間が20分ですから、同じ距離を船が下るのにかかる時間は
20÷５＝４分になります。
グラフの【1】（＝船がPからQまで下りにかかる時間）＝○＋４分＝20＋４＝24分
したがってグラフの（１）（＝船がQからPまで上りにかかる時間）＝120－22×２－24×２＝28分
上りの速さ：下りの速さ＝24：28＝６：７
（答え）６：７
（３）下りの速さを７とすると上りの速さは６
静水時の速さは
（７＋６）÷２＝6.5＝分速325ｍ
流れの速さは
（７－６）÷２＝0.5ですから
325÷6.5×0.5＝25ｍ
PQ間は船が24分かかるので、350×24＝8400ｍ
（答え）川の流れ 分速25ｍ PQ間の距離 8400ｍ
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