差集め算

差集め算とは?

1本30円の鉛筆と1個50円の消しゴムを10個買う場合を考えてみましょう。
30円の鉛筆を10本買うのに必要な金額は30×10=300円です。
一方、50円の消しゴムを10個買うのに必要な金額は50×10=500円です。
この差は500-300=200円になります。一方それぞれの1個の差は50-30=20円になります。
1つの差が20円でそれが10個集まると200円になるのです。差集め算はこれを利用する問題です。
例題をあげてみましょう。


(例題1)
何人かの生徒にみかんを配ることにしました。一人に3個ずつ配ると24個あまり、一人に5個ず
つ配ると8個不足します。生徒は何人いますか。またみかんは全部で何個ありますか。


(解説と解答)
 3.3.3.3.3.3.3… ‥3   24個あまり
 5.5.5.5.5.5.5… ‥5   8個不足
 となるわけですから、全体の差は24+8=32個になります。この差は一人について2個ずつの差が集まってできたのですから、
 32÷(5-3)=16人が人数になります。
 したがってみかんの数は3×16+24=72個になります。
 5個を16人に配ると、5×16=80個ですから80-72=8個不足するので、答えが正しいことがわかります。

 数学で解くと、この問題はこのようになります。
 求める生徒の数をxとすると、 3x+24=5x-8 5x-3x=24+8 2x=32
 x=16と求めることになります。移項の過程で出てくる5-3=2を個々の差として考え、
 24+8=32を全体の差(全差)として考えれば、全差÷個差=個数という求め方ができるのです。


(例題2)
何人かの生徒を講堂の長いす10台に6人がけをして、残りの生徒が8人がけすると、長いすは10台あまります。また全部の長いすに7人がけすると20人がすわれません。生徒の数を求めなさい。


(解説と解答)
長いす10台に8人ずつかけると(8-6)×10=20人さらにすわれますから、8×10=80人とあわせてあと80+20=100人すわることができます。
一方7人ずつすわると20人すわれませんから、全体の差は100+20=120人になります。
したがって120÷(8-7)=120台
7×120+20=840+20=860人

 (答え)860人

差集め算はいろいろな応用があります。


(例題3)
みかんはりんごの3倍の数あります。みかんを一人に8個ずつ配ると15個余ります。またりんごを1人3個ずつ配ると8個不足します。みかんの数と生徒の数を求めなさい。


(解説と解答)
みかんはりんごの3倍ですから、りんごをみかんの数にそろえることを考えます。
 8.8.8.8.8.8…‥8   15個あまり
 3.3.3.3.3.3…‥3   8個不足
 3.3.3.3.3.3…‥3   8個不足
 3.3.3.3.3.3…‥3   8個不足
 したがってりんごがみかんと同じ数だけあるとすれば、1人に3×3=9個ずつ配ると8×3=24個不足することになるのです。  

(24+15)÷(9-8)=39人・・・生徒の数
 8×39+15=312+15=327・・・みかんの数
                                 
(答え)生徒の数 39人  みかんの数 327個


(例題4)
ある会合で1人に25個ずつあめを配る予定でいました。ところが、人数が予定より5人増えたので、一人に20個ずつ配ったところ、20個余ったそうです。
実際に会合に来た人は何人でしたか。


    
(解説と解答)
来た人数に一人に25個ずつ配れば25×5=125個不足することになります。
一方一人に20個ずつ配ると20個あまるので、全体の差は20+125=145個になります。個々の差は25-20=5ですから
145÷5=29人 が実に来た人数になります。                      

(答え)29人

今回は差集め算を勉強しました。差集め算は速さでも使えますし、いろいろな分野で使いこなさなければいけませんが、ポイントは全体の差÷個々の差=個数という概念です。そこをしっかり理解していきましょう。

以下のプリントもお役立ていただければと思います。


算数オンライン塾 差集め算

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