2012年本郷中学の問題です。
図のような1辺の長さが30cmの正三角形ABCがあります。PB=10cmである点Pから発射された玉は辺にあたると、図のように反射し、点Cに到達して止まりました。このときCQの長さは何cmですか。
図のように反射角は同じですから、正三角形の中に４つの相似形の三角形があることがわかります。
すなわち、三角形PBQ、三角形RQC、三角形SBC、三角形ASRは３つの角度が△、○、60°とすべて同じです。
ここで60°と○の間の辺について考えてみます。
三角形PBQでは10㎝、三角形SBCでは30cm、三角形ASRと三角形RQCではAR+RC＝30cmになっています。ですから合計すると70cmになります。
同様に60°と△の間の辺について考えてみます。
三角形PBQと三角形RQCではBQ+QC=30cm、三角形SBCと三角形ASRではAS+SB=30cmです。ですから合計すると60cmです。
それぞれの辺の比は相似形ですから等しいので、合計も同じ比になりますから、PB：PQ＝7：6 になるので、BQは10×6/7＝60/7
したがってCQの長さは30－60/7＝150/7cmになります。
（答え）150/7cm
「映像教材、これでわかる比と図形」（田中貴）
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