数の性質の問題

2012年巣鴨中学の問題です。


ある小学校では、学年における1クラスの人数とクラス数を「1クラス35人をこえないように、できるだけ少ないクラス数にする。」と決めています。たとえば、学年の児童の人数が35人であれば1クラスですが、36人であれば2クラスになります。また、各クラスの人数の差が、1人以下になるようにします。この小学校の6年生が4クラスであるとき、次の各問いに答えなさい。
(1)6年生の児童の人数は、何人以上何人以下と考えられますか。
(2)6年生の男子の人数は4の倍数だったので、各クラスの男子の人数を同じにしました。また6年生の女子の人数は、男子の人数より5人少ない人数でした。男子の1クラスあたりの人数は、何人以上何人以下と考えられますか。

(3)(2)のとき、6年生の各クラス内で、次のように班分けをしました。

ア)1つの班の人数は、4人または5人です。
イ)1つの班は、男子のみまたは女子のみです。

このとき、4つのクラスで男子4人の班と女子4人の班の合計は、最大で何班できると考えられますか。


(解説と解答)
(1)1クラスは最大が35人ですから、4クラスの最大の児童数は35×4=140人です。最小は3クラスにならない場合なので、35×3=105人より多い場合ですから、105+1=106人が最小になります。
(答え)106人以上140人以下

(2)男子の数を【4】とすると女子の数は【4】-5になるので、合計【8】-5になります。
これが106人以上140人以下であるので、 【8】-5>106から【8】>111より【1】≧14
【8】-5≦140 より【1】≦18となります。
(答え)14人以上18人以下

(3)
男子が1クラス18人の場合、女子は18×4-5=67人です。したがって女子は67÷4=16・・・3より17人と16人に分かれます。
男子が18人の場合、5人と4人ですから5×2+4×2から男子4人の班は2つできます。
女子が17人の場合は、5×1+4×3から女子4人の班は3つできます。
女子が16人の場合は16÷4=4班できますから、男子4人の班は2班×4=8班 女子が4人の班は3クラスが3班で1クラスが4班ですから、13班。したがって合計は21班になります。

男子が1クラス17人の場合、女子は17×4-5=63人ですから、女子は63÷4=15・・・3より16人と15人に分かれます。
17人の場合は4×3+5×1ですから、男子4人の班は3×4=12班できます。
女子は16人の場合が4×4 15人の場合は5×3となるので、女子4人の班は4×3=12班できます。したがって合計は24班になります。

男子が1クラス16人の場合は、女子が16×4-5=59人です。59÷4=14・・・3となり、15人と14人です。
男子は4×4=16人となるので、男子4人の班は4×4=16班できます。
女子は15人が5×3 14人が5×2+4なので、女子4人の班は1つしかできません。したがって合計は16+1=17班です。

男子が1クラス15人の場合は5×3となり、4人の班はできません。
女子は15×4-5=55人から55÷4=13・・・3から14人か13人なので
5×2+4が3クラス、5×1+4×2が1クラスですから女子4人の班は3+2=5班だけです。

男子が1クラス14人の場合は5×2+4です。したがって男子4人の班は4班になります。
女子は14×4-5=51人 51÷4=12・・・3より13人が3つ、12人が1つになります。
13=5×1+4×2 12=4×3より女子4人の班は2×3+3=9班でき、合計で4+9=13班できます。

したがって最大は男子が1クラス17人のときで、合計24班になります。

(答え)24班
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