規則性の問題

2013年 頌栄女子学院の問題です。


1辺の長さが4cmの正方形を次の図のように並べていきます。
ただし、重なっている部分は1辺が1cmの正方形とします。このとき次の問いに答えなさい。

(1)4番目の図を考えたとき、色のついている部分の面積を求めなさい。
(2)色のついた部分の面積が912cm2になるのは、何段目の図のときですか。


(1)n段目に1辺が4cmの正方形はn×n個あります。
重なっている1辺が1cmの正方形の個数は
2段目 上から1-2-1
3段目 上から2-3-2-3-2
となり、n×2-1個の数が並び小さい場合はn-1、nの順で続きます。
したがって4段目は4×2-1=7個の数字が並び、
3-4-3-4-3-4-3となるので、合計は24個
したがって4段目の面積は4×4×4×4-1×1×24=256-24=232
(答え)232cm2

(2)n段目の引く面積を考えます。
1辺が1cmの正方形がn個の部分はn-1個あり、n-1個の部分はn個あるので、
合計はn×(n-1)×2になります

したがって5段目以降は、
5段目は16×25-5×4×2=400-40=360
6段目は16×36-6×5×2=576-60=516
7段目は16×49-7×6×2=784-84=700
8段目は16×64-8×7×2=1024-112=912

より、8段目になります。

(答え)8段目

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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