2013年浅野中学の問題です。
図1のような、1辺の長さ4cmの正方形を底面とし、高さが8㎝の正四角すいA－BCDEがあります。辺ADを2等分する点をPとし、辺AEを2等分する点をQとし、四角形BCPQでこの立体を切断します。次の各問いに答えなさい。
図１
（１）四角形BCPQの面積は何cm2ですか。ただし、図２のような3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は直角三角形になります。
図２
（２）２つに分けられた立体のうち、下側の立体（底面BCDEを含む方の立体）の体積は何cm3ですか。
（解説と解答）
（１）
図３のようにBCの中点をF、EDの中点をG、QPの中点をRとして三角形AFGを考えます。
このとき、FRは台形BCPQの高さになります。
図３
AからFGの中点であるHに垂線を下ろし、FRとの交点をI、RからFGに平行に線を引き、AHとの交点をJとするとAR：RG＝1：1ですから、JRの長さは1cmになります。
RからAHに平行に線を引きFGとの交点をKとするとHK＝1cm、FK＝3cm、RK＝JH＝8÷2＝4cmです。
したがって三角形RFKは3：4：5の直角三角形になるので、FR＝5cm
四角形BCPQの面積は（2＋4）×5÷2＝15cm2になります。
（答え）15cm2
（２）図４のように下の部分を３つに切ります。QP＝SM＝LO＝2cm MD＝ES＝LC＝BO＝1cmです。
図４
このとき、四角すいP－LCMDと四角すいQ－BOSEは同じになり、体積の合計は4×1×4÷3×2＝32/3
真ん中の部分は三角柱となり三角形PLMはLMを底辺としたとき、高さは4cmですから、
4×4÷2×2＝16
したがって合計は10 2/3 ＋16＝26 2/3
(答え）26 2/3 cm3
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