今年の麻布中学の問題です。
１以上の２つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。例えば18と12の最大公約数は６なので、
18÷６＋12÷６＝３＋２＝５となります。このことを[18、12]＝５と表すことにします。
以下の問いに答えなさい。
（１）[（ ア ）、（ イ ）]＝８となるような整数（ ア ）、（ イ ）で、（ ア ）、（ イ ）の和が16になるようなものを４つ答えなさい。
（２）[12、（ ウ ）]＝８ を満たす整数 （ ウ ）を２つ答えなさい。
（３）[30、（ エ ）]＝９ を満たす整数 （ エ ）をすべて答えなさい。 ただし、答えの欄はすべて使うとは限りません。
最大公約数で割っているので、２つの商に公約数はありません。互いに素の関係になっています。
（１）したがって８は（７、１）か（５，３）のどちからしかないのです。しかも（ ア ）、（ イ ）の和が16ですから最大公約数は２であることがわかります。
考えられるのは
（２、14）（14、２）（６、10）（10、６）の４つになります。
（２）同様に[12、（ ウ ）]＝８ も２つの商は（７、１）か（５，３）しかありません。で、12は７でも５でも割れませんから、12が該当するのは１か３になります。
よって（84、12）か（20、12）のいずれかになるのでウは20、84になります。
（３）[30、（ エ ）]＝９で９を２つの商に分けると（８、１）（７、２）（５、４）の３つになります。
30が該当するのは１、２、５の部分だけですから （240、30）（105、30）（30、24）ということになるので、エは24、105、240の３つになります。
２つの数は互いに素であることから、和を分解する、ということに気が付けば比較的解きやすい問題ではなかったか、と思います。
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