互いに素

今年の麻布中学の問題です。


1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。例えば18と12の最大公約数は6なので、

18÷6+12÷6=3+2=5となります。このことを[18、12]=5と表すことにします。

以下の問いに答えなさい。

(1)[( ア )、( イ )]=8となるような整数( ア )、( イ )で、( ア )、( イ )の和が16になるようなものを4つ答えなさい。

(2)[12、( ウ )]=8 を満たす整数 ( ウ )を2つ答えなさい。

(3)[30、( エ )]=9 を満たす整数 ( エ )をすべて答えなさい。 ただし、答えの欄はすべて使うとは限りません。


最大公約数で割っているので、2つの商に公約数はありません。互いに素の関係になっています。

(1)したがって8は(7、1)か(5,3)のどちからしかないのです。しかも( ア )、( イ )の和が16ですから最大公約数は2であることがわかります。

考えられるのは
(2、14)(14、2)(6、10)(10、6)の4つになります。

(2)同様に[12、( ウ )]=8 も2つの商は(7、1)か(5,3)しかありません。で、12は7でも5でも割れませんから、12が該当するのは1か3になります。

よって(84、12)か(20、12)のいずれかになるのでウは20、84になります。

(3)[30、( エ )]=9で9を2つの商に分けると(8、1)(7、2)(5、4)の3つになります。

30が該当するのは1、2、5の部分だけですから (240、30)(105、30)(30、24)ということになるので、エは24、105、240の3つになります。

2つの数は互いに素であることから、和を分解する、ということに気が付けば比較的解きやすい問題ではなかったか、と思います。

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