2012年灘中学２日目の２番です。
下の図は、一辺の長さが3cmの立方体で、AMの長さは2cm、ANの長さは1cmです。4つの点A、E、M、Nを頂点とする三角すいをKとします。
（1）三角形EMNと合同な三角形を1つ、（例）のように（解答）に番き入れなさい。
（2）三角すいKについて、三角形EMNを底面としたときの高さを求めなさい。
（3）図のように、三角形ANMの角Nの大きさをｘ°で、三角形ANEの角Nの大きさをｙ°とします。このとき、ｘ°＋ｙ°は何度ですか。
（解説と解答）
（１）この問題は着眼点が勝負になるかな、という気がします。
空間を切る問題で、斜めになっている平面を考えなければならないわけですが、斜めになっている平面上でできる三角形をどう描くか？ということを考えなければなりません。
で、注目するのは辺の長さです。
といって小学生ですから平方根は使えません。ただ、直角三角形の斜辺であることはわかります。つまりNMという辺は１㎝、２㎝の直角三角形の斜辺と表すことができます。そこで図にNMを書いてみると
図１ 
のように書くことができます。次はNEですが、これは１㎝、３㎝の直角三角形の斜辺です。したがって
図２
のように作ってみましょう。そうすると最後の辺が２㎝、３㎝の直角三角形の斜辺であればよいので、
図３
と確認できれば、これが答えになります。
（２）この三角すいの体積は２×１×1/2×３×1/3＝１㎝3になります。
で図３からこの三角形の面積を出すことはできますね。１辺３㎝の正方形から１㎝２㎝、１㎝３㎝ ２㎝３㎝の直角三角形を引けばよいので
３×３－１×２×1/2ー１×３×1/2ー２×３×1/2=7/2
になります。底面積×高さ×1/3=体積ですから 7/2×高さ×1/3=１より 高さは6/7㎝ と求めることができます。
（３）はまず展開図を思い起こして、正方形ABCD、ADHE、AEFBを全部同じ平面に書きます。
図４ 
と図４のようになり、図のZの角度がわかればx+yの角度は求められることがわかります。
ここでやはり辺の長さに注目してください。
MNは１㎝２㎝の直角三角形の斜辺でした。同じものをNから下に伸ばしていくと三角形PQNを作ることができます。
この三角形PQNと同じ三角形がありますね。三角形PREです。これも1cm 2cmの直角三角形になります。
ということは三角形NPEは直角二等辺三角形になります。（三角形PQNと三角形PREは合同な直角三角形ですから、角QPNと角RPEの合計は90度です。）
したがってZは45° 180-45＝135度が答えになります。
これはピタゴラスの定理を証明する図と同じですね。
図５
１㎝３㎝の直角三角形を４つ図のように組んでみれば中に正方形ができますが、この正方形の対角線の半分の長さは１㎝２㎝の直角三角形の斜辺です。
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