数の性質の問題

2012年麻布中学の問題です。

図のような6つのマス目があり、左上のマス目には1が書かれています。

 残りの5マスに2から6までの数字を1つずつ書き入れることを考えます。

 ただし、横の3つの数は3で割った余りが異なるように書き入れ、たての2つの数は2で割った余りが異なるように書き入れます。

 たとえば、下の図の2つは正しい書き入れ方です。

 このとき、以下の問いに答えなさい。

(1)下の図で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

(2)下の図で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

 (3)下の図で、残った5つの数字の書き入れ方は何通りですか。


3の剰余系(3で割った時のあまりによる分類)で考えると、0が3と6 1が1と4 2が2と5です。
同様に2の剰余系では 0が2、4、6 1が1,3,5となります。

(1)上に1、3、5と並んでいますので下は2、4、6と決まっていますが、2、4、6はどう入れても規則を満たします。

したがって3×2×1=6通り                            (答え)6通り

(2)下は2、3、4になりますが、6の下に3が来ないといけないので、2、4、3か4、2、3の 2通りになります。

                                     (答え)2通り

(3)(1)と(2)の考え方を延長すればよいことになります。

1の右2つは(3、6)のどちらかと(2、5)のどちらかがはいるので、

(1、3、2)(1、3、5)(1、6、2)(1、6、5)(1、2、3)(1、2、6)(1、5、3)(1、5、6)の8通りあります。

ここで上が(1、3、5)のように全部奇数でそろっていれば、下は6通りあります。

ところが上が奇数2つに偶数1つ、あるいは偶数2つに奇数1つの場合だと2通りしかありません。

例えば上が(1、3、2)だとすれば、2の下には5が入るしかなく、(4、6、5)(6、4、5)の2通りしかないのです。

したがtって6×2+2×6=24通り が答えになります。         (答え)24通り

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