正方形を折ると・・・

2011年駒場東邦の問題。


ある正方形ABCDがあり、辺BC、CDのまん中の点をそれぞれM、Nとします。AとM、AとN、MとNを結んだ直線で正方形を折ると四面体をつくることができます。その時、四面体の体積は3087cm3でした。

(1)四面体をつくったとき、点Bと重なる点をすべて答えなさい。

(2)この正方形の1辺の長さを求めなさい。

(3)四面体をつくったとき、三角形AMNを底面としたときの、四面体の高さを求めなさい。


この形は覚えておくと良いでしょう。

このように折ると、右図のような立体になります。

オレンジの面が同じです。

これは底面が直角三角形の三角すいで、立方体から切り取った立体です。

さて、(1)ですが、

BはCと重なりますが、DもCの位置にくるのを忘れないでください。

(答え)C、D

(2)図から立体のACの長さは正方形の1辺の長さになります。

その長さをXとすると、立体の体積は

1/2 × X × 1/2 × X × 1/2 × X × 1/3 = 1/24 × X × X × X = 3087

なんだ、三次方程式か、いえ、素数分解です。

3087=3×1029

1029は何で割れるか、1の位が9なので、7か17ぐらいはどうだろうか。 というので7で割ってみると

1029=7×147 

ということになって、これは3×7×7×7 

すると3087=3×3×7×7×7 これに24をかけると24=2×2×2×3ですから

X × X × X = 2×2×2×3×3×3×7×7×7=42×42×42

となるので、1辺の長さは42cmです。

(答え)42cm

(3)まず三角形AMNを計算しましょう。

42×42ー42×21×1/2×2ー21×21×1/2=42×21-10.5×21=31.5×21

でここまでで計算をやめます。

体積は3×3×7×7×7ですから

31.5×21×高さ×1/3 =3×3×7×7×7

31.5×21×高さ=3×3×3×7×7×7

高さ=3×3×7×7÷31.5=3×3×7×7×2÷63=7×2=14㎝

で答えは14㎝です。上手に計算してください。

(答え)14㎝

この形はたまに出題されますので、覚えておいた方が良いでしょう。
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