立体図形の問題

2008年渋谷渋谷の問題。


下の図のような1辺6㎝の立方体で、AGとGEとの交点をPとします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)DEとDGの間の角(ア)の大きさを求めなさい。

(2)HFの真ん中の点をQとし、DQとPHの交点をRとします。HR:RPをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

(3)Pを頂点とし、底面を四角形EFGHとする四角すいがあります。この四角すいをD、E、Gを通る平面で切った時、点Fがある方の立体の体積を求めなさい。


(1)三角形DEGは正方形AEFBの対角線を1辺とする正三角形になっています。したがって(ア)は60°。

(答え)60°

(2)DHFBの平面で考えると下図のようになります。

三角形DHRと三角形RPQの相似からHR:RP=2:1

(答え)2:1

(3)切り取られるのは底面が直角三角形HEG、高さが2㎝の三角すいです。

四角すいは6×6×3×1/3=36cm3

三角すいは6×6÷2×2×1/3=12㎝3

したがって残るのは36-12=24㎝3

(答え)24㎝3

(2)があるので、(3)は切り取られる立体が三角すいであることに気が付きやすいと思います。自分で立体のイメージをうまく組み立ててください。自分で図を描けるようになるとさらにイメージが明確になっていくでしょう。

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