2011年学習院中等科の問題です。
4ケタの数からある位の数を１つ消し、その位をつめて３ケタの数を作ったところ101になりました。このとき次の問いに答えなさい。
（１）この数になる４ケタの数のうち、最小の数を求めなさい。
（２）この数になる４ケタの数は全部でいくつあるか、求めなさい。
（３）この数になる４ケタの数をすべてたすといくつになるかを求めなさい。
題意はシンプルだと思うのですが、ミスを起こさないように解いていきましょう。
（１）一番小さくなるのは100の位が０になるときですから、１００１が答えになります。
（答え）１００１
（２）■１０１ １■０１ １０■１ １０１■
の４通りが考えられます。
最初の■１０１は０が入らないので■に入る数は９通り、それ以外はすべて■に１０通りの数字が入るので９＋１０×３＝３９通りになるのですが、
１１０１、１０１１、１００１が重複して数えられています。
したがって３９－３＝３６通り
（答え）３６通り
（３）
■１０１の和は （１＋９）×９÷２×1000＋101×９＝45909
１■０１の和は 1001×10＋（1＋9）×10÷２×100＝10010＋4500＝14510
１０■１の和は 1001×10＋（1＋9）×10÷２×10＝10010＋450＝10460
１０１■の和は 1010×10＋（1＋9）×10÷２＝10100＋45＝10145
ここから
1101＋1011＋1001＝3113を引くので、
45909＋14510＋10460＋10145－3113＝77911
（答え）77911
場合分けをした後、重複をぬかさないように気を付けましょう。
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