n進法の問題

2009年桜蔭中学の問題です。


3×5×5×5+4×5×5+2×5+1
=(ア)×(ア)×(ア)+(イ)×(ア)×(ア)+(ウ)×(ア)+3
のときア、イ、ウにあてはまる整数を答えなさい。ただし、ア、イ、ウは1から9までの整数です。


3×5×5×5+4×5×5+2×5+1を見てすぐ計算を始めてはいけません。

まあ、ちょっとは眺めている。ああ、そうか、これは5進法だ、と気づけば、あとはアイデアが湧いてくるでしょう。

与式は5進法で3421ということを表しています。

一方(ア)×(ア)×(ア)+(イ)×(ア)×(ア)+(ウ)×(ア)+3
は(ア)進法で1イウ3と表せるということはわかります。

で1の位が3なのだからアは3よりは大きくなります。また同じ4桁で(ア)進法の最初の位が1だからアは5より大きくならないといけない。

ここで5進法での計算をしてみましょう。

125×3+25×4+5×2+1=486

で(ア)進法で表したときに1の位が3だからアは
486-3=483の約数にならなければいけません。

483=3×7×23 だからアは7と決まります。

ということであとは486を7進法で表せばいいので、
486÷7=69…3
69÷7=9…6
9÷7=1…2
となるので7進法で表すと1263になります。

したがってアが7 イが2 ウが6が答えです。

(答え)ア 7 イ 2 ウ 6


「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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