2009年豊島岡中学の問題です。
強さの違うバネが3本とも重さの違うおもりが3個あります。3本のバネは強さの違いによって、伸びやすいものからバネ【1】、バネ【2】、バネ【3】とし、3個のおもりは軽いものからおもりA、おもりB、おもりCとします。
図1のようにバネ1本におもり1個をつり下げると、バネとおもりの組み合わせ方によってバネの伸びは違い、伸びが最も小さい組み合わせで１cm、伸びが最も大きい組み合わせで12cmとなりました。
図2のようにバネ2本におもり1個をつり下げると、2本のバネの伸びの合計は、伸びの合計が最も小さい組み合わせで3cm、伸びの合計が最も大きい組み合わせで20cmとなりました。ただし、バネの重さは考えないものとし、バネの伸びはその下のおもりの重さで決まるものとします。
以下の問いに答えなさい。
（1）バネ1本におもり1個をつり下げたとき、バネの伸びが最も大きくなるのは、どのバネにどのおもりをつり下げたときでしょうか。バネとおもりの組み合わせを、バネ【1】～【3】と、おもりA～Cからそれぞれ一つずつ選び、記号で答えなさい。
（2）バネ【2】におもりCをつり下げたとき、バネ【2】の伸びは何cmになるか答えなさい。
（3）図3のようにバネ3本におもり1個をつり下げ、3本のバネの伸びの合計が最も小さくなるようにしました。このとき3本のバネの伸びの合計は何cmになるか答えなさい。
（4）図4のようにバネ【2】におもり3個をつり下げたとき、バネ【2】は14cm伸びました。このことから、おもりA、おもりB、おもりCの重さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（5）図5のようにバネ3本におもり3個をつり下げ、3本のバネの伸びの合計が最も小さくなるようにしました。このとき3本のバネの伸びの合計は何cmになるか答えなさい。
（１）ばね1本、おもり１個であれば、伸びの一番少ないばねに一番軽いおもりをつければ、のびは一番小さくなり、伸びの一番大きいばねに一番重いおもりをつければ伸びは最大になります。
したがってのびを最大にするにはばね【1】におもりCをつるせばよいことになります。
（答え）ばね 【1】 おもり C
（２）
図１の場合から、ばね【1】とおもりCで伸びは12cm、
図２の場合から、ばね【1】とばね【2】でおもりCで、伸びは20cm、
したがってばね【2】でおもりCのときの伸びは20－12＝8cm
（答え）8cm
（３）ばねは【1】【2】【3】と同じですから、伸びを一番小さくするにはおもりAを下げたときになります。
図１の場合から、ばね【3】とおもりAで伸びは1cmです。
図２の場合から、ばね【2】と【3】、おもりAで伸びは3cm です。
ばね【2】でおもりAだと3ー1＝2cmです。
（２）からばね【1】とばね【2】の伸びの比は12：8＝3：2ですから
ばね【2】でおもりAが2cmならば、ばね【1】でおもりAは3cmの伸びになります。
したがって3本にAをつるしたときは1＋2＋3＝6cmの伸びになります。
（答え）6cm
（４）ばね【2】にABCをつるすと伸びは14㎝です。
（２）からばね【2】にCをつるすと伸びは8cmです。
（３）からばね【2】にAをつるすと伸びは2cmです。
したがってばね【2】にBをつるすと伸びは14－8－2＝4より
A：B：C＝2：4：8＝1：2：4
（答え）１：２：４
（５）
整理すると各ばねの伸びとおもりの関係は以下の通りになります。
ばねは下にいくほど、重さをかけないことになりますから、ばねの順番は上から【3】、【2】、【1】になります。
【3】のばねにはおもりABC全部、【2】のばねにはAとB 【1】のばねにはAをかければいちばん伸びは小さくすることができるので、
7＋6＋3＝16cmが答えになります。（表の黄色の部分がそれぞれの長さになります。）
（答え）16cm
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